Para conocer acerca de funciones polares:
Curvas Algebraicas
Bruja de Agnesi
Tridente de Newton
Y demás cosas sobre funciones polares, dale clic en el siguiente enlace...
Esperamos que sea de tu ayuda.
http://calculodipolares.blogspot.com/
ESPIRAL
Concepto
Es una línea
generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la
vez que gira alrededor de él.
Definición
Normalmente
se define con una función que depende de dos valores: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia, y la distancia desde este punto al centro,
situado en el vértice del ángulo.
ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
La espiral
de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del
matemático griego Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo.
Definición: Se define como el lugar geométrico de un punto
moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de
origen fijo a Velocidad Angular constante. En
coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la
ecuación siguiente:
Siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos. Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales. Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes), mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica. Hay que notar que la espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos en la gráfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo. A veces, el término es usado para un grupo más general de espirales.
La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras
espirales que caen dentro del grupo incluyen la espiral hiperbólica, la espiral
de Fermat, y el. Virtualmente todas las espirales estáticas que aparecen en la
naturaleza son espirales logarítmicas, no de Arquímedes. Muchas espirales
dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido
por una rueda de Catherine) son del grupo de Arquímedes.
Aplicaciones
La espiral de Arquímedes tiene una plétora de
aplicaciones. Por ejemplo, se emplean muelles de compresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo
tamaño intercaladas, para de comprimir
líquidos y gases.
ESPIRAL DE LOGARÍTMICA
El término espiral logarítmica se debe a Pierre
Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona
que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis «la espiral maravillosa». D'Arcy
Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (1917).
DefiniciónUna espiral
logarítmica, espiral equiangular
o espiral de crecimiento es una
clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre
proviene de la expresión de una de sus ecuaciones:
Ecuaciones
En (r, θ) la fórmula de la curva puede
escribirse como
o bien 
, de aquí
el nombre "logarítmica"
y en forma
paramétrica como:
con números
reales positivos a y b. a es un factor de escala que
determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en
que dirección está enrollada. Para b >1 la espiral se expande
con un incremento θ, y para b <1 se contrae.
En geometría diferencial, la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente
Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una
línea recta.
Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en
una circunferencia.
Características
·
Cualquier línea
recta al origen cortará a la espiral logarítmica con el mismo ángulo α, que
puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln (b)).
·
El grado de
la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias
centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)).
·
Una espiral
logarítmica de grado 0 (b = 1) es una circunferencia; el caso límite es
una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea
recta desde el origen.
Importante
La espiral logarítmica
se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias
entre sus brazos se incrementan en progresiones geométricas, mientras que en
una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente
espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la vía láctea, se cree que
tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral
logarítmica de unos 12 grados.
Los brazos
de los, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.
Una borrasca sobre Islandia. El patrón que sigue se aproxima a la forma
de una espiral logarítmica.
Corte de la concha de un nautilus donde se aprecian las cámaras formando aproximadamente una espiral logarítmica.
Imagen de la galaxia espiral M81 (o galaxia de Bode), en la que se puede
observar polvo interestelar siguiendo aproximadamente una espiral logarítmica.
El símbolo de Debian se parece a un espiral
logarítmica.
LA
ESPIRAL HIPERBÓLICA.
Definición: La hiperbólica es una curva plana y puede obtenerse como la inversa con
respecto al polo de una , de donde
proviene su apodo de espiral inversa.
Donde r representa la distancia al centro de giro; θ el girado y a es una constante.
§ La en Coordenadas cartesianas es:
Donde
el Parámetro t es un equivalente de θ en
las coordenadas polares.
La
espiral tiene una asíntota en y =
a: cuando t se aproxima a cero, la ordenada se
aproxima hacia a, mientras que la
abscisa crece hasta el infinito
CIRCUNFERENCIA
Definición
La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Dimensión de la circunferencia
Al ser una
línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos
de la circunferencia.
Radio de la circunferencia
El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Cuerda
La cuerda es
un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro mide
el doble del radio.
Arco
Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Semicircunferencia
Una semicircunferencia es
cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
Longitud de una circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual a π por el diámetro.
La longitud de una circunferencia es igual a 2 π por el radio.
POSICIONES
RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Ningún punto en común
Exteriores
La
distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
Interiores
La distancia entre los centros es
menor que la diferencia de los radios.
Concéntricas
Los
centros coinciden.
Un punto en común
Tangentes exteriores
La
distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
Tangentes interiores
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en común
Secantes
La
distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Recta secante
La
recta corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente
La
recta corta a la circunferencia en un punto.
Recta exterior
No
tiene ningún punto de corte con la circunferencia.
ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo central
El ángulo central tiene
su vértice en el centro de la circunferencia y
sus lados son dos radios.
La medida de un arco es
la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene
su vértice está en la circunferencia y
sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del
arco que abarca.
Ángulo seminscrito
El vértice de ángulo
semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y
el otro tangente a ella.Mide la mitad
del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vértice es interior a
la circunferencia y sus lados secantes a ella.Mide la mitad de la
suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las
prolongaciones de sus lados.
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otrosecante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA
Interior
La
distancia del punto al centro es menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
La
distancia del punto al centro es mayor que el radio.
ROSA DE TRES PÉTALOS
La ecuación genérica de la rosa de
tres pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos
3
La ecuación
genérica de la rosa de tres
pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos 3Q
r = a cos 3Q
donde Q es el
ángulo.
La ecuación r
= a sen 3Q corresponde a la de una curva similar que se obtiene haciendo girar
la curva de la figura 30º en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
En general r =
a cos nQ ó r = a sen nQ tiene n pétalos si n es impar.
LA CARDIOIDE
1. Salvo aplicar una
homotecia y una tralsación, podemos suponer que ambas circunferencias son de
radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos C(t)=2eit al centro de la circunferencia que
está rodando y Q(t)=eit al
punto de tangencia entre ambas circunferencias, t∈[0,2π). Prueba que la
longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto Q(t) hasta α(t), es t.
2. Deduce quel apartado 1 que el punto α(t) se obtiene aplicando un giro de ángulo t al vector Q(t)−C(t). Deduce de aquí que α(t)=2eit−e2it, t∈[0,2π).
Definición
La cardioide es la más sencilla de las epicicloides.
Es la curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse,
rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio. Se llama cardioide por
su semejanza con el dibujo de un corazón. La cardiode, conocida también como Caracol
de Pascal, en honor de [[Etienne Pascal], Padre del gran sabio francés .
Ecuaciones
La genérica de la cardioide en es:
LEMNISCATA
Definición
En matemática, una lemniscata es un tipo de curva
descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
La representación gráfica de esta ecuación genera
una curva similar a
. La curva se ha convertido en el símbolo del
infinito y es ampliamente utilizada en matemática. El símbolo en sí mismo es, a
veces, llamado lemniscata. Su representación en Unicode es ∞ y su código
es (∞).
Ecuaciones
La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares según la siguiente ecuación:
Análogamente, con coordenadas bipolares su ecuación es:
Derivadas
Cada derivada fue calculada usando Diferenciación implícita.
Con
como función de
Con
como función de
